Steven Roman
『Advanced Linear Algebra』Third Edition
新品で購入後未読でした。
書き込み線引きマーカー引き押印等無しです。
本書の特徴
Steven Romanの「Advanced Linear Algebra」は、大学院レベルの線形代数学の教科書で、幅広いトピックを扱っています。基本的な線形代数の概念から始まり、加群、内積空間、スペクトル理論、テンソル積、アフィン幾何など幅広い内容が網羅されています。最新版では結合代数に関する章も加わり、著名な定理の証明や説明も充実しています。
評価としては、丁寧で優雅な証明が特徴であり、体系的で包括的な内容です。問題演習は充実しており、難問のヒントも時折付いています。また、内容の深さと範囲の広さが評価されており、大学院の教科書や参考書として適しています。一部の利用者は、Curtisの「Abstract Linear Algebra」やAxlerの「Linear Algebra Done Right」などと比較していますが、Romanの本は高度なモジュールやPIDの扱いなどを含み、長期的に有用な資料とされています。
総じて、専門的で幅広い内容を扱うため、しっかりした代数の基礎がある上で、深く学びたい大学院生や研究者に向いていると評価されています.
初版序文
この本は大学院生や上級学部生を対象とした線形代数学の本格的な入門書です。前提条件は行列や行列式の基本的な性質の知識に限られています。しかし、ベクトル空間と線形変換の基礎については比較的速いペースで扱うため、事前に（学部レベルでもよいので）線形代数学の講義を履修していること、そして一定程度の「数学的成熟」が望まれます。
第0章では、本書後半を理解するために必要となる現代代数学の一部のトピックをまとめています。この章は通読するというよりも、参照用として利用するのが適切です。第1章から第3章では、ベクトル空間と線形変換の基本的性質が論じられます。
第4章は加群について扱い、特にベクトル空間と加群の性質を比較することに重点を置きます。第5章も加群をさらに扱い、その主な目的は「任意の自由加群の基底は同じ濃度（基数）をもつことの証明」と「ネーター加群の導入」です。ただし、授業では証明を省略して概観するだけでも構いません。第6章は主イデアル整域上の加群論に充てられており、有限生成加群に対する巡回分解定理を導きます。この定理は有限次元線形作用素の構造定理へとつながり、第7章と第8章で扱われます。
第9章では実内積空間と複素内積空間を論じます。特に有限次元の場合に重点を置き、第10章では正規作用素に関する有限次元スペクトル定理に到達します。ただし、随所で可能な限り、任意次元ベクトル空間への一般化も提示しています。
本書の後半は独立したトピックを収めています。ただし、第13章のみ第12章を基礎としています。第11章では距離付きベクトル空間を扱い、さまざまな基底体上でのシンプレクティック幾何学および直交幾何学の構造を解説します。第12章には距離空間に関する必要な基礎事項を収め、第13章の基本的なヒルベルト空間論における位相的課題を統一的に扱えるようにしています。すべての距離空間がその完備化に埋め込めることを示す長い証明は、省略可能です。
第14章ではテンソル積の簡単な導入を行います。テンソル積の普遍性を、圏論的な言葉に深入りせず説明するために、まず自由ベクトル空間や直和を普遍的な観点から解説します。第15章（第2版では第16章）はアフィン幾何学を扱い、幾何学的視点よりも代数学的観点に重点を置いています。
最終章では「アンブラル計算」と呼ばれる比較的新しい分野への入門を与えます。これは特定種の多項式関数を扱う代数学的理論で、応用数学において重要な役割をもっています。本書では応用よりも代数学的側面を重視して簡潔に紹介しており、この分野が本格的な教科書に登場するのは初めてです。
最後に一点。本書で証明が省略されている場合は、特に断りがない限り、読者自身がその証明を試みることが暗黙の推奨となっています。
第2版序文
まず、初版の読者の皆様から数多くの有益なコメントや提案をいただいたことに感謝申し上げます。第2版は初版からの大きな変化を表しています。内容の大枠となるテーマの範囲を除けば、まったく新しい本と言ってよいでしょう。
本文は全面的に書き直されました。12年の歳月とおよそ20冊分の執筆経験が、私の叙述の質を高める助けとなっていることを願っています。演習問題もまた、完全に刷新されました。
第2版には新たに2つの章が加わっています。すなわち「凸性、分離、線形系の正の解」に関する章（第15章）と、「QR分解、特異値、疑似逆行列」に関する章（第17章）です。また、テンソル積とアンブラル計算の取り扱いは大きく拡充され、テンソル積に関する章では行列式の議論を、さらに実ベクトル空間の複素化、シュールの定理、ゲルシュゴリンの円板についても論じています。
第3版序文
まず、第2版に対して多くの有益なコメントや提案をお寄せくださった読者の皆様に感謝申し上げます。特に Joe Kidd 氏と Nam Trang 氏に深く御礼申し上げます。第3版にあたっては、既知の誤りをすべて修正し、いくつかの議論（反射空間性の考察、有理標準形、最良近似、テンソル積の定義など）を洗練させ、また有限次元／有限階数の場合にしか証明していなかったものをより一般的な場合に拡張しました。さらに射影作用素に関する一部の内容を、本文のより早い位置に移動しました。
この版では新たにいくつかの定理が追加されています。その中にはスペクトル写像定理や、「dim(V) dim(V*) であり、等号が成立するのは V が有限次元のときに限る」という定理が含まれています。
また、新しい章として結合代数を扱う部分を設け、そこで実数体上の有限次元除法代数の特徴づけ（フロベニウスの定理）、有限体上の有限次元除法代数の特徴づけ（ウェッダーバーンの定理）といった古典的結果を含めました。
参考文献も大幅に拡充され、線形代数学に関する書籍を中心に100件を超える文献が追加されています。
;)
